Am găsit 3 definiții pentru cuvantul/cuvintele muchie:

MÚCHIE, muchii, s. f. 1. Linie de intersecție a două fețe ale unui corp geometric. ◊ Loc. adv. Pe muchie = la limită, la extremă. 2. Margine, dungă a unui lucru, a unei suprafețe. ◊ Expr. Bătuți pe muchie = (despre o sumă de bani) din care nu lipsește nimic, care este întreagă, exactă. 3. Marginea din afară, porțiune laterală a unor obiecte. ♦ Marginea palmei dinspre degetul cel mic. ♦ Partea opusă tăișului unor unelte de tăiat. ♦ Expr. (Ca sau cât) (de) o muchie de cuțit = foarte îngust, foarte subțire; foarte puțin. Pe muchie de cuțit = într-o situație critică, în primejdie. 4. Partea cea mai înaltă, ascuțită și prelungită, a unui munte, a unui deal, a unei stânci; creastă, coamă, culme; p. ext. coastă a unui munte sau a unui deal; pantă, povârniș. [Pr.: -chi-e.Var.: múche s. f.] – Probabil lat. *mutila (= mutulus).
Sursa: Dicționarul explicativ al limbii române, ediția a II-a

!múchie (-chi-e) s. f., art. múchia (-chi-a), g.-d. art. múchiei; pl. múchii, art. múchiile (-chi-i-)
Sursa: Dicționar ortografic, ortoepic și morfologic al limbii române, ediția a II-a revăzută și adăugită


muchie f. colț, crestătură: 1. dosul unei cărți; 2. marginea sau dunga cuțitului; 3. creștet sau culme de deal. [Cf. lat. MUTILUS, tocit].
Sursa: Dicționar universal al limbei române, ediția a VI-a