Am găsit 2 definiții pentru cuvantul/cuvintele căpătîi:

căpătîi (căpătấie), s. n.1. Parte a patului pe care se pune capul. – 2. Cămin, și, prin extindere, situație, stare socială. – 3. Cuzinet; lagăr, palier. – 4. Pană; ic. – 5. Capăt, sfîrșit. – 6. Bucată, fragment, crîmpei. – Mr. căpitîńu, căpitińu, megl. căpitǫń. Lat. capĭtāneum „capital” (Pușcariu 274; REW 1633; DAR); cf. it. capitagna (rov. kapetano) și der. neol. căpitan.Der. căpătier, s. m. (în Mold., în epoca Regulamentului Organic, locuitori săraci, care în drept nu aveau loc de căpătîi, și prin urmare nu aveau obligații fiscale); căpătui, vb. (a căsători; a înzestra, a dota; a găzdui), format cu suf. verbal -ui (Pușcariu, Dacor., II, 595; REW 1634 consideră „șocantă” der., dar motivele nu ni se par evidente; în plus, este posibil și ca forma căpătuiesc să fie numai o formă analogică de la căpătîiesc, cum sugerează DAR); căpătuială, s. f. (situație; căsătorie).
Sursa: Dicționarul etimologic român

căpătî́ĭ (vest) și -ắĭ (est) n., pl. ĭe (lat. capitaneum, cap, capăt, d. caput, cap, ca întîĭ d. antáneus). Ceĭa ce puĭ supt [!] cap ca să dormĭ, ca perna saŭ alt-ceva. Partea patuluĭ unde se pune perna. Lemn scurt și gros pus supt o ladă, un butoĭ ș. a. (V. chezăș). Bucată, vîrf dintr´o prăjină, dintr´un drug, dintr´o funie ș. a. A da de căpătîĭ, a afla, a descurca, a ajunge la un rezultat. A ĭeși la căpătîĭ, a ajunge la rezultat, a sfîrși bine. Om fără căpătîĭ (pernă), vagabond, haĭmana.
Sursa: Dicționaru limbii românești